II. ve III. Dereceden Denklemler
Videolu Anlatım
II. Dereceden Denklemler
Kökleri verilen ikinci derece denklem Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri 2 ve 3 olan bir denklem düşünelim:(x−2)(x−3)=0
Bu ifadeyi dağıttığımızda x2−5x+6=0 çıkar. Burada x'in katsayısı −5 in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan +6'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri 1 ve 4 olan denklem(x−1)(x−4)=0
Dağıttığımızda x2−5x+4=0 çıkar. Gene x'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu. Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri 2 ve 6 olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı 8 ve çarpımı 12 dir. Demek ki denklemx2−8x+12=0
Bir denklemin açık halini hemen yazmak için x2−Tx+Ç=0 yapmamız yeterli oluyor. T kökler toplamını, Ç ise kökler çarpımını ifade ediyor.) Şimdi ilk yazdığımız denklemi, (x−2)(x−3)=0, bir sayı ile çarpalım. Örneğin5(x−2)(x−3)=0
Gene bu eşitliği sağlayan x değerleri 2 ve 3 tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca5x2−25x+30=0
elde ediyoruz. Artık x in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak x2 nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz, 5 ile. Demek ki −25 i 5 e bölmemiz yeterli. Yani eğer x2'nin katsayısı 1 değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.Kökler toplamı ve çarpımı Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır:ax2+bx+c=0
şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamıx1+x2=−ba
çarpımı isex1×x2=ca
dır. Genel bir ispatı şöyle yapabiliriz: Kökleri x1 ve x2 olan en genel ikinci derece denklem a∈R,a≠0 olmak üzere, kolayca anlaşılacağı gibia⋅(x−x1)⋅(x−x2)=0
Bu denklemi dağıtırsak a(x2−x⋅x1−x⋅x2+x1⋅x2) çıkar. Düzenlersek:a[x2−(x1+x2)x+x1⋅x2]=0
elde ederiz. Aşağıdaki denklemlerin açık halini katsayıları tam sayı olacak şekildex2−Tx+Ç=0
den yararlanarak yazınız. (gerekirse tam sayı olması için denklemi bir sayıyla genişletin)Alıştırmalar
ÇözümBiz yeni bir denklem yazmak istiyoruz. Bu denklemin kökleri x1−1 ve x2−1. Demek ki yeni denklemin kökler toplamı(x1−1)+(x2−1). Yani (x1+x2−2) yi bulmalıyız. Ilk verilen denklemden (x1+x2) yi bulabiliriz.−ba=−63=−2=(x1+x2)
Demek ki kökler toplamı (x1+x2−2)=−4 Aynı şekilde yeni denklemin kökler çarpımı(x1−1)×(x2−1) dir. Bu ifadeyi dağıtırsak(x1x2−(x1+x2)+1)
buluruz. İlk denklemden (x1x2) çarpımını bulabiliriz.ca=(x1x2)=−123=−4
Demek ki yeni denklemin kökler çarpımı(x1x2−(x1+x2)+1)=(−4)−(−2)+1=−1
x2−Tx+Ç=0 de bulduklarımızı yerine koyarsak yeni denklemx2+4x−1=0
olur.
Biraz daha zor bir örnek:Örnekx2−2x+4 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri1x21 ve 1x22
olan denklemi yazınız.
ÇözümBu sefer çarpımlarından başlayalım, çünkü daha basit. Yeni denklemin kökler çarpımı1x21×1x22=1(x1x2)2
(x1x2) verilen denklemden 4 çıkar. Demek ki kökler çarpımı 1(x1x2)2=116 dır. Kökler toplamı1x21+1x22=x22+x21x21x22=(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2
Sadece x1+x2 ve x1x2 kullanarak ifade ettik. Bu değerleri zaten verilen denklemden bulabiliyoruz. x1+x2=−ba=2 ve x1x2=4 demek ki yeni denklemin kökler toplamı(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2=−14
Yeni denklemimiz x2−Tx+Ç=0 dan x2+x4+116=0 çıkar. Son bir adım kaldı. Genellikle testlerde seçeneklerde katsayılar tam sayı olduğundan denklemi 16 ile genişletiyoruz.16x2+4x+1=0
Alıştırmalar
Kökleri verilen ikinci derece denklem Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri 2 ve 3 olan bir denklem düşünelim:(x−2)(x−3)=0
Bu ifadeyi dağıttığımızda x2−5x+6=0 çıkar. Burada x'in katsayısı −5 in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan +6'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri 1 ve 4 olan denklem(x−1)(x−4)=0
Dağıttığımızda x2−5x+4=0 çıkar. Gene x'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu. Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri 2 ve 6 olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı 8 ve çarpımı 12 dir. Demek ki denklemx2−8x+12=0
Bir denklemin açık halini hemen yazmak için x2−Tx+Ç=0 yapmamız yeterli oluyor. T kökler toplamını, Ç ise kökler çarpımını ifade ediyor.) Şimdi ilk yazdığımız denklemi, (x−2)(x−3)=0, bir sayı ile çarpalım. Örneğin5(x−2)(x−3)=0
Gene bu eşitliği sağlayan x değerleri 2 ve 3 tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca5x2−25x+30=0
elde ediyoruz. Artık x in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak x2 nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz, 5 ile. Demek ki −25 i 5 e bölmemiz yeterli. Yani eğer x2'nin katsayısı 1 değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.Kökler toplamı ve çarpımı Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır:ax2+bx+c=0
şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamıx1+x2=−ba
çarpımı isex1×x2=ca
dır. Genel bir ispatı şöyle yapabiliriz: Kökleri x1 ve x2 olan en genel ikinci derece denklem a∈R,a≠0 olmak üzere, kolayca anlaşılacağı gibia⋅(x−x1)⋅(x−x2)=0
Bu denklemi dağıtırsak a(x2−x⋅x1−x⋅x2+x1⋅x2) çıkar. Düzenlersek:a[x2−(x1+x2)x+x1⋅x2]=0
elde ederiz. Aşağıdaki denklemlerin açık halini katsayıları tam sayı olacak şekildex2−Tx+Ç=0
den yararlanarak yazınız. (gerekirse tam sayı olması için denklemi bir sayıyla genişletin)Alıştırmalar
- Kökleri −1 ve 4 olan denklem
- Kökleri 0 ve 1 olan denklem
- Kökleri −2 ve 3 olan denklem
- Kökleri 12 ve 13 olan denklem
- Kökleri −3 ve −3 olan denklem
Cevap(x+1)(x−4)=x2−3x−4=0
Cevap(x)(x−1)=x2−x=0
Cevap(x+2)(x−3)=x2−x−6=0
Cevap6(x−12)(x−13)=6x2−5x+1=0
Cevap(x+3)(x+3)=x2+6x+9=0
ÇözümBiz yeni bir denklem yazmak istiyoruz. Bu denklemin kökleri x1−1 ve x2−1. Demek ki yeni denklemin kökler toplamı(x1−1)+(x2−1). Yani (x1+x2−2) yi bulmalıyız. Ilk verilen denklemden (x1+x2) yi bulabiliriz.−ba=−63=−2=(x1+x2)
Demek ki kökler toplamı (x1+x2−2)=−4 Aynı şekilde yeni denklemin kökler çarpımı(x1−1)×(x2−1) dir. Bu ifadeyi dağıtırsak(x1x2−(x1+x2)+1)
buluruz. İlk denklemden (x1x2) çarpımını bulabiliriz.ca=(x1x2)=−123=−4
Demek ki yeni denklemin kökler çarpımı(x1x2−(x1+x2)+1)=(−4)−(−2)+1=−1
x2−Tx+Ç=0 de bulduklarımızı yerine koyarsak yeni denklemx2+4x−1=0
olur.
Biraz daha zor bir örnek:Örnekx2−2x+4 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri1x21 ve 1x22
olan denklemi yazınız.
ÇözümBu sefer çarpımlarından başlayalım, çünkü daha basit. Yeni denklemin kökler çarpımı1x21×1x22=1(x1x2)2
(x1x2) verilen denklemden 4 çıkar. Demek ki kökler çarpımı 1(x1x2)2=116 dır. Kökler toplamı1x21+1x22=x22+x21x21x22=(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2
Sadece x1+x2 ve x1x2 kullanarak ifade ettik. Bu değerleri zaten verilen denklemden bulabiliyoruz. x1+x2=−ba=2 ve x1x2=4 demek ki yeni denklemin kökler toplamı(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2=−14
Yeni denklemimiz x2−Tx+Ç=0 dan x2+x4+116=0 çıkar. Son bir adım kaldı. Genellikle testlerde seçeneklerde katsayılar tam sayı olduğundan denklemi 16 ile genişletiyoruz.16x2+4x+1=0
Alıştırmalar
- x2−4x+2=0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri bu denklemin köklerinden birer eksik olan denklemi yazınız.
- 2x2−6x+1=0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci derece denklemi yazınız.
- x2−8x+25=0 denkleminin köklerinin aritmetik ortasını birinci kök, geometrik ortasını ikinci kök kabul eden denklemi yazınız.
- 3x2−6x+4=0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 1−1x1 ve 1−1x2 olan denklemi yazınız.
Cevapx2−2x−1=0
Cevapx2−6x+2=0
Cevapx2−4x+5=0
Cevap4x2−2x+1=0
ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
A. TANIM
a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ
BAĞINTILAR
a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun.
C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.
Bu denklem düzenlenirse,
x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur.
Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.
1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2x2 dir.
2) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 = x2 = x3 tür.
Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0