II. ve III. Dereceden Fonksiyonlar ve Parabol
Videolu Anlatım
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR
Tanım : a, b, c, R ve a 0 olmak üzere;
y = ax2 + bx + c
biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.
Böyle bir fonksiyon;
biçimlerinden biri ile gösterilir.
ÖRNEKLER:
1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 3 , b = - 2 ve c = 4 tür.
2. f: RR , f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 9 , b = 0 ve c = -2 dir.
İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.
1. Tepe noktasının koordinatları bulunur.
2. Grafiğin varsa, koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
3. Değişim tablosu düzenlenir.
4. Değişim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.
TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim.
ÖRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
x = -2 için, y = (-2)2 = 4 olduğundan, grafik (-2, 4) noktasından,
x = -1 için, y = (-1)2 = 1 olduğundan, grafik (-1, 1) noktasından,
x = 0 için, y = (0)2 = 0 olduğundan, grafik (0, 0) noktasından,
x = 1 için, y = 12 = 1 olduğundan, grafik (1, 1) noktasından,
x = 2 için, y = 22 = 4 olduğundan, grafik (2, 4) noktasından
geçer.
Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.
x gerçek sayıları (-) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında, y = x2 fonksiyonu (+) dan sıfıra kadar azalır.
x sıfırdan (+) a doğru artmaya devam ettiğinde, y = x2 fonksiyonu da sıfırdan (+) a artarak gider.
Grafiğin döndüğü nokta, (0, 0) noktasıdır. Bu nokta, y = x2 parabolünün tepe noktası dır.
y = x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
y = x2 nin değişim tablosunu incelerseniz, x 1 için y = 1 ve x = 2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktaları 0y eksenine göre simetrik noktalardır.
O halde, 0y ekseni (x = 0 doğrusu), y = x2 fonksiyonunun grafiğinin, simetri eksenidir.
fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir, inceleyiniz.
y = ax2 parabolünde;
• a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru,
• a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru,
• a mutlak değerce büyüdükçe, parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
• a mutlak değerce küçüldükçe, parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.
• x = 0 doğrusu (0y ekseni), parabolün simetri eksenidir.
Şimdi de, y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
y = ax2 + bx + c fonksiyonu,
(Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik)
biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte, dır.
a > 0 ise, ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir.
a < 0 ise, ifadesi en büyük, sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir.
(I) eşitliğinde, alınırsa, bu ifade y = a(x – r)2 + k biçimine dönüşür.
O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = , ordinatı, olan noktasına, parabolün tepe noktası denir.
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;
ÖRNEKLER
1. y = 2x2 – x + 1 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda; a = 2, b = -1 ve c = 1 dir.
O halde, tepe noktası, dir.
2. y = 6x2 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda a = 6 , b = 0 ve c = 1 dir.
O halde tepe noktası, T(0, 0) dır.
3. y = 2x2 + 4 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda, a = 2, b = 0 ve c = 4 tür.
O halde tepe noktası, T(0,4) tür.
Fonksiyonlar, aşağıdaki biçimde verildiğinde, tepe noktasını bulmak için, işlem yapmaya gerek yoktur.
1. y = ax2 parabolünün tepe noktası, T(0, 0) dır.
2. y = ax2 + c parabolünün tepe noktası, T(0. c) dir.
3. y = a(x – r)2 parabolünün tepe noktası, T(r. 0) dır.
4. y = a(x – r)2 + k parabolünün tepe noktası, T(r. K) dır.
İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün), eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından, x = 0 alınırsa,
y = a.02 + b.0 + c = c olur.
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.
Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından, y = 0 alınırsa,
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.
Bu denklemin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x1,0) ve(x2,0) olur.
ÖRNEKLER
1. y = x2 – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = 02 – 4 = -4
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4) tür.
y = 0 için, 0 = x2 – 4 x2 = 4 x1 = -2 v x2 = 2
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) dır.
2. y = 2x2 + 8 parabolünün varsa, eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = 2.02 + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0. 8) dir.
y = 0 için, 0 = 2x2 + 8 2x2 = -8 x2 = - 4 gerçek kök yoktur.
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.
3. y = x2 – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.
x=0 için, y=02–3.0 + 2 = 2 olduğundan, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0 x1 = 2 v x2 = 1 olduğundan, parabolün x eksenini kestiği noktalar, (2, 0) ile (1, 0) dır.
4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan, parabolün,
y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.
y = 0 için, (x – 1)2 – 4 = 0 (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1
O halde, grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) dır.
y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının, olduğunu göstermiştik.
Ayrıca, bu fonksiyonun x eksenini; (x1 , 0) ve (x2 , 0) noktalarında y eksenini de (0, c) noktasında kestiğini bulmuştuk.
Elde ettiğimiz bu bilgilere göre, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.
Tablodan da görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından, y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azalır.
x değişkeni dan (+) a doğru artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (+) a doğru artar.
Bu nedenle, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.
Tablodan görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x değişkeni dan (+) a kadar artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (-) doğru azalır.
O halde, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.
PARABOL NEDİR?
A. TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.
İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüneparabol denir.
Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,
r=-b/2a ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır.
Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir.
X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin
tepe noktası T(r, k) dır.
C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.
Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
2) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.
E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa
y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)
y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)
y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.
F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... (*)
(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, (*) denkleminde;
Tanım : a, b, c, R ve a 0 olmak üzere;
y = ax2 + bx + c
biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.
Böyle bir fonksiyon;
biçimlerinden biri ile gösterilir.
ÖRNEKLER:
1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 3 , b = - 2 ve c = 4 tür.
2. f: RR , f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 9 , b = 0 ve c = -2 dir.
İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.
1. Tepe noktasının koordinatları bulunur.
2. Grafiğin varsa, koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
3. Değişim tablosu düzenlenir.
4. Değişim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.
TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim.
ÖRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
x = -2 için, y = (-2)2 = 4 olduğundan, grafik (-2, 4) noktasından,
x = -1 için, y = (-1)2 = 1 olduğundan, grafik (-1, 1) noktasından,
x = 0 için, y = (0)2 = 0 olduğundan, grafik (0, 0) noktasından,
x = 1 için, y = 12 = 1 olduğundan, grafik (1, 1) noktasından,
x = 2 için, y = 22 = 4 olduğundan, grafik (2, 4) noktasından
geçer.
Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.
x gerçek sayıları (-) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında, y = x2 fonksiyonu (+) dan sıfıra kadar azalır.
x sıfırdan (+) a doğru artmaya devam ettiğinde, y = x2 fonksiyonu da sıfırdan (+) a artarak gider.
Grafiğin döndüğü nokta, (0, 0) noktasıdır. Bu nokta, y = x2 parabolünün tepe noktası dır.
y = x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
y = x2 nin değişim tablosunu incelerseniz, x 1 için y = 1 ve x = 2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktaları 0y eksenine göre simetrik noktalardır.
O halde, 0y ekseni (x = 0 doğrusu), y = x2 fonksiyonunun grafiğinin, simetri eksenidir.
fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir, inceleyiniz.
y = ax2 parabolünde;
• a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru,
• a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru,
• a mutlak değerce büyüdükçe, parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
• a mutlak değerce küçüldükçe, parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.
• x = 0 doğrusu (0y ekseni), parabolün simetri eksenidir.
Şimdi de, y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
y = ax2 + bx + c fonksiyonu,
(Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik)
biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte, dır.
a > 0 ise, ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir.
a < 0 ise, ifadesi en büyük, sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir.
(I) eşitliğinde, alınırsa, bu ifade y = a(x – r)2 + k biçimine dönüşür.
O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = , ordinatı, olan noktasına, parabolün tepe noktası denir.
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;
ÖRNEKLER
1. y = 2x2 – x + 1 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda; a = 2, b = -1 ve c = 1 dir.
O halde, tepe noktası, dir.
2. y = 6x2 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda a = 6 , b = 0 ve c = 1 dir.
O halde tepe noktası, T(0, 0) dır.
3. y = 2x2 + 4 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.
Verilen fonksiyonda, a = 2, b = 0 ve c = 4 tür.
O halde tepe noktası, T(0,4) tür.
Fonksiyonlar, aşağıdaki biçimde verildiğinde, tepe noktasını bulmak için, işlem yapmaya gerek yoktur.
1. y = ax2 parabolünün tepe noktası, T(0, 0) dır.
2. y = ax2 + c parabolünün tepe noktası, T(0. c) dir.
3. y = a(x – r)2 parabolünün tepe noktası, T(r. 0) dır.
4. y = a(x – r)2 + k parabolünün tepe noktası, T(r. K) dır.
İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün), eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından, x = 0 alınırsa,
y = a.02 + b.0 + c = c olur.
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.
Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından, y = 0 alınırsa,
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.
Bu denklemin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x1,0) ve(x2,0) olur.
ÖRNEKLER
1. y = x2 – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = 02 – 4 = -4
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4) tür.
y = 0 için, 0 = x2 – 4 x2 = 4 x1 = -2 v x2 = 2
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) dır.
2. y = 2x2 + 8 parabolünün varsa, eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = 2.02 + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0. 8) dir.
y = 0 için, 0 = 2x2 + 8 2x2 = -8 x2 = - 4 gerçek kök yoktur.
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.
3. y = x2 – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.
x=0 için, y=02–3.0 + 2 = 2 olduğundan, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0 x1 = 2 v x2 = 1 olduğundan, parabolün x eksenini kestiği noktalar, (2, 0) ile (1, 0) dır.
4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
x = 0 için, y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan, parabolün,
y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.
y = 0 için, (x – 1)2 – 4 = 0 (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1
O halde, grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) dır.
y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının, olduğunu göstermiştik.
Ayrıca, bu fonksiyonun x eksenini; (x1 , 0) ve (x2 , 0) noktalarında y eksenini de (0, c) noktasında kestiğini bulmuştuk.
Elde ettiğimiz bu bilgilere göre, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.
Tablodan da görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından, y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azalır.
x değişkeni dan (+) a doğru artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (+) a doğru artar.
Bu nedenle, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.
Tablodan görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x değişkeni dan (+) a kadar artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (-) doğru azalır.
O halde, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.
PARABOL NEDİR?
A. TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.
İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüneparabol denir.
Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,
r=-b/2a ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır.
Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir.
X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin
tepe noktası T(r, k) dır.
C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.
Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
- D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.www.matematikcifatih.tr.gg
- D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
- D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.
1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
2) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.
E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa
y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)
y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)
y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.
F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... (*)
(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, (*) denkleminde;
- D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
- D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
- D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.