Kartezyen Çarpım Bağıntı Fonksiyon
Videolu Anlatım
BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM
Sıralı İkili
Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.
(a,b) ≠ (b,a) Yer değiştiğinde eşit olmaz.
(a,b)=(c,d) Burada a=c ve b=d olur.
Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?
2x-1=5+x buradan x=6 olur.
3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.
Kartezyen Çarpım
A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.
AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}
Örnek: A={1,2,3} B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı
s(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)
s(AxA)= s(A). s(A)
Örnek: A={1,2} B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4
Örnek: A={1,2,3}
AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.
2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.
3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.
4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.
Bağıntı
A ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.
s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.m
O zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2n.m dir.
Örnek: A={1,2} B={a,b}
AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4
Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.
β1={(1,a),(2,a)}
β2={(1,a),(2,a),(1,b)}
β3={(2,b)}
Bu şekilde AxB’nin 24=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,
A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.
Bağıntının Tersi
β bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β-1 ile
gösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β-1
bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.
Örnek: A={3,5,7,8} kümesinde
β={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersi
β-1={(5,3),(8,7),(5,5)}
Yansıma Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.
Örnek: A={a,b,c} kümesi için
β1={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.
β2={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.
Simetri Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β1={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.
β2={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.
β simetrik bağıntı ise β= β-1
β bağıntısının grafiği ile β-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusuna
göre simetriktir.
Ters Simetri Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β1={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.
β2={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.
Geçişme Özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.
Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.
Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için
β1={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.
β2={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.
FONKSİYONLAR NE DEMEKTİR?
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
- A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
- B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
- A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.www.matematikcifatih.tr.gg
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ NELERDİR?
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise,
f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.
Ü (f – 1) – 1 = f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
iv) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.