Polinomlar
A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
Örnek verecek olursak:
Konunun başında yazdığımız genel ifadede;
burdaki reel sayısına polinomun sabit terimi adı verilir.
Şimdi bir polinomu inceleyelim;
İki değişkenli polinom:
Örnek:
Bu polinomun derecesi x ' e göre 6 y 'ye göre 5 ve x ve y ' ye göre ise 5+6=11 olur. Yani olur.
Katsayılar Toplamı: Polinomda değişkenlerin yerine 1 yazdığımızda bu polinomun katsayılar
toplamını elde etmiş oluruz.
Katsayılar toplamı bulunurken değişkenimiz olan x yerine 1 yazacağız.
= elde edilir. polinomunun katsayılar toplamı tür.
Sabit Terim Bulma: Polinomda değişkenlerin yerine 0 yazdığımızda polinomumuzun sabit terimini elde ederiz.
buradan sabit terim 5 olduğu görülür.
Polinomların Eşitliği: Dereceleri aynı olan terimlerin katsayılarıda aynı ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
P(x)= a0+a1x1+a2x2+...+anxn
Q(x)=b0+b1x1+b2x2+...bnxn
polinomları birbirine eşit ( P(x)=Q(x) ) ise dereceleri eşit olan x bilinmeyenlerinin katsayıları birbirine eşittir. o halde;
a0=b0 , a1=b1 , ... , an=bn dir.
P(x)=2x-4 ve Q(x)=x2-x-2 polinomları verilsin. Buna göre aşağıdaki işlemleri yapalım.
A) P(x).Q(x)=? B) P(x)-2.Q(x)=? C) 3P(x)+4Q(x)=?
Polinomlarda Derece Kavramı:
Tanımlı bir P(x) polinomunun x bilinmeyenlerinin en büyük kuvvetine bu P(x) polinomunun derecesi denir. Bu polinomun derecesi d[P(x)] veya der[P(x)] ile gösterilir.
Örnek:
polinomunun derecesi der[P(x)]=3 tür.
polinomunun derecesi der[Q(x)]=7 dir.
Polinomların Derecelerinin Özellikleri:
Tanımlı P(x) ve Q(x) polinomlarının dereceleri der[P(x)]= m ve der[Q(x)]= n olsun.
polinomları verilsin. Buna göre aşağıda istenilenleri yapalım.
Polinomlarda Bölme İşlemi
Polinomlarda bölme işlemi konusunu incelemeden önce Bölme-Bölünebilme konusu ile ilgili olduğunu düşünelim.
Bu yazdığımız P(x) polinomunu elde etmek için Q(x) ve R(x) in çarpılıp K(x) ile toplanmasıdır. Buna göre;
olduğunu biliyoruz. Buradan faydalanarak;
P(x)=(x2+4x-2).(3x-2)+(x+1) dir. P(3) bizden istenen olduğundan; x yerine 3 yazarız.
x=3 için P(3)=(32+4.3-2).(3.3-2)+(3+1)
P(3)= (9+12-2).(9-2)+4=19.7-2=133-2=131 dir.
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
Örnek verecek olursak:
- P(x)=x+1
- P(x)=x2-1
- Q(x)=x3+5x2-1
- R(x)=1
- P(X)=0
- Bunların hepsi birer bir polinomdur.Dikkat edilmesi gereken husus polinomların terimlerinde x lerin üssü olan n sayısının doğal sayı olması gerektiği unutulmamalıdır.
- Örnek: P(x)=x-5+3
- Örnek:
- Polinomlarda derecesi en büyük terimin derecesine polinomun derecesi denir.
Konunun başında yazdığımız genel ifadede;
burdaki reel sayısına polinomun sabit terimi adı verilir.
Şimdi bir polinomu inceleyelim;
- Örnek: polinomunun katsayıları 3,7,-5,6 rakamlarıdır.
İki değişkenli polinom:
Örnek:
Bu polinomun derecesi x ' e göre 6 y 'ye göre 5 ve x ve y ' ye göre ise 5+6=11 olur. Yani olur.
Katsayılar Toplamı: Polinomda değişkenlerin yerine 1 yazdığımızda bu polinomun katsayılar
toplamını elde etmiş oluruz.
- Örnek: polinomunun katsayılar toplamını bulalım.
Katsayılar toplamı bulunurken değişkenimiz olan x yerine 1 yazacağız.
= elde edilir. polinomunun katsayılar toplamı tür.
Sabit Terim Bulma: Polinomda değişkenlerin yerine 0 yazdığımızda polinomumuzun sabit terimini elde ederiz.
- Örnek: polinomunun sabit terimi kaçtır ?
buradan sabit terim 5 olduğu görülür.
- Örnek: polinomunun sabit terimi kaçtır ?
Polinomların Eşitliği: Dereceleri aynı olan terimlerin katsayılarıda aynı ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
P(x)= a0+a1x1+a2x2+...+anxn
Q(x)=b0+b1x1+b2x2+...bnxn
polinomları birbirine eşit ( P(x)=Q(x) ) ise dereceleri eşit olan x bilinmeyenlerinin katsayıları birbirine eşittir. o halde;
a0=b0 , a1=b1 , ... , an=bn dir.
- Örnek: (a+1)x3-(b+4)x2-2p+6 = 2x3+8 olduğuna göre a+b+p toplamı kaçtır?
polinomlar birbirine eşit olduğundan;
a+1=2 den a=1 dir.
Eşitliğin sağ tarafında x2 li terim olmadığından
b+4=0 dan b=-4 dür.
-2p+6=8 den p=-1 dir.
a+b+p=1+(-4)+(-1)=-4 dür.
P(x)=2x-4 ve Q(x)=x2-x-2 polinomları verilsin. Buna göre aşağıdaki işlemleri yapalım.
A) P(x).Q(x)=? B) P(x)-2.Q(x)=? C) 3P(x)+4Q(x)=?
Polinomlarda Derece Kavramı:
Tanımlı bir P(x) polinomunun x bilinmeyenlerinin en büyük kuvvetine bu P(x) polinomunun derecesi denir. Bu polinomun derecesi d[P(x)] veya der[P(x)] ile gösterilir.
Örnek:
polinomunun derecesi der[P(x)]=3 tür.
polinomunun derecesi der[Q(x)]=7 dir.
Polinomların Derecelerinin Özellikleri:
Tanımlı P(x) ve Q(x) polinomlarının dereceleri der[P(x)]= m ve der[Q(x)]= n olsun.
- Polinomlar çarpılırken dereceleri toplanır.
der[P(x).Q(x)]= m+n
- Polinomlar bölünürken paydaki polinomun derecesinden paydadaki polinomun derecesi çıkartılır.
- Polinomlar toplanırken veya çıkartılırken ise iki durum söz konusudur.
! Polinomların dereceleri farklı ise derecesi büyük olan polinomun derecesi alınır. (Burada m>n alalım.)
!! Polinomların dereceleri aynı ise polinomların çıkartma ve toplama işlemi yapıldıktan sonra oluşan yeni polinomun derecesi yazılır. - Polinomların reel katlarını alırken polinomun derecesi değişmez.
- Polinomların reel sayı kuvvetleri alınırken veya değişkeninin reel sayı kuvveti alınırken, o polinomun derecesi aynı reel sayı ile çarpılır.
- Polinomların bileşkesi alınırken dereceleri çarpılır.
polinomları verilsin. Buna göre aşağıda istenilenleri yapalım.
Polinomlarda Bölme İşlemi
Polinomlarda bölme işlemi konusunu incelemeden önce Bölme-Bölünebilme konusu ile ilgili olduğunu düşünelim.
Bu yazdığımız P(x) polinomunu elde etmek için Q(x) ve R(x) in çarpılıp K(x) ile toplanmasıdır. Buna göre;
- ise tam bölünmüştür. Kalan 0 dır.
- yani kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür.
- Bölme işleminin yapılabilmesi için polinomunun derecesinin polinomunun derecesinden büyük veya eşit olması gerekmektedir.
olduğunu biliyoruz. Buradan faydalanarak;
P(x)=(x2+4x-2).(3x-2)+(x+1) dir. P(3) bizden istenen olduğundan; x yerine 3 yazarız.
x=3 için P(3)=(32+4.3-2).(3.3-2)+(3+1)
P(3)= (9+12-2).(9-2)+4=19.7-2=133-2=131 dir.